みんなサッカーしよう

サッカー好きの子供たち、サッカーに興味のあるお父さん・お母さん 湘南平の麓、山下でサッカーを一緒に楽しみませんか
 
2020/03/18 7:48:09|その他
#山下だより〜 100のボールを分ける 〜
今日は少し難しい問題にチャレンジしてください。

問題
数学クイズ「100のボールを分ける少女」


黒いボールと白いボールが50個ずつある。
ボールを入れる箱が2つある。

これから、「どちらかの箱をランダム(2分の1)で選び、その箱に入っているボールをランダムに1つ取り出す」という行動を1回だけおこなう。

この時に、黒いボールを取り出す確率をなるべく高くしたい。

さて、100個のボールをどのように2つの箱に分けて入れればよいだろうか?

なお、全てのボールは箱に入れなければならない。


さあ、解いてみましょう!

……普通に考えたら「黒いボールを取り出す確率」は50%ですね。

まず2つの箱のうち1つがランダムで選ばれ、その箱の中に入っているボールがランダムで取り出される。

完全に50%なのでは?

いえ。

黒いボールを取り出す確率を50%以上にさせる方法があります。

ヒントはなし。

少し下にスクロールすると・・・




































多くの皆さんがよ〜く考えたと感知すると答えが表れます(笑)



徐々に答えが見えてきましたよ(笑)



正解

1、1つの箱に黒いボール1個を入れる
2、もう1つの箱に残りのボール99個を入れる

これで「黒いボールを取り出す確率」は約75%になる。

解説

まずボールを取り出す箱が50%(=0.5)の確率でランダムに選ばれます。

箱Aに白いボールを50個、箱Bに黒いボールを50個入れた時、求める確率は

( 箱Aを選ぶ確率 × 箱Aから黒いボールを取り出す確率 ) + ( 箱Bを選ぶ確率 × 箱Bから黒いボールを取り出す確率 )

で表されます。
これを計算すると、

(0.5×0)+(0.5×1)=12

となり、12 結果は50%どまりです。

ここで「箱を1/2でランダムに選ぶ」という要素を最大限に活用し、箱に入れる玉を極端に偏らせることで「黒いボールを取り出す確率」をかなり上げることができます。

箱Aに黒いボールを1個、箱Bに黒いボール49個と白いボール50個を入れた時、求める確率は

(0.5×1)+(0.5×4999 )≒0.7474..

となり、黒いボールを取り出す確率が約75%にまで上昇します。

「ランダムでどちらかが選ばれる2つの箱」の内訳を「100%で黒が出る箱」「ほぼ50%で黒が出る箱」にすることで、全体の確率を引き上げています。

このトリックに気づけるかどうかがカギになりますが、とても面白い問題です。



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